Для доказательства этого факта воспользуемся вторым определением предела функции. Пусть дано произвольное число требуется установить существование такого, что как только Так как Следовательно, если взять неравенство будет выполнено. Рассмотрим функцию определенную при Эта функция, в отличие от рассмотренной в примере 11.4, имеет предел при а именно, Следовательно, а последовательность вовсе не сходится. Поэтому рассматриваемая функция не имеет предела при Число А называют пределом функции при если для любой последовательности такой, что последовательность сходится к при В этом случае пишут

Пусть дана обратимая функция Обратная ей функция Построим на одной и той же координатной плоскости графики этих функций. Пусть есть возрастающая функция в области ее определения, т. Для любых из условия вытекает, что Покажем, что из функции фондовой биржи условия следует что и Но если (иначе соответствие не было бы функцией). Если то в силу того, что функция монотонно возрастающая, что противоречит условию. Следовательно, наше представление, что неверно; отсюда Напомним, что соответствие между множествами X и У называется функцией, если каждому значению соответствует одно и только одно значение

Непрерывность функции в точке

Такой способ задания функции часто применяется тогда, когда область определения состоит из конечного числа значений. Этот график позволяет узнать, какая температура была в определенный момент прошедших суток. Таким образом график, изображенный на рис. 38, устанавливает соответствие между каждым моментом времени и числом, дающим температуру в этот момент.

Пусть, например, функция задана уравнением В качестве примеров обратимых функций можно привести линейную функцию, функцию функцию рассматриваемую в промежутке или в промежутке и т. Аналогично доказывается, что если — монотонно убывающая функция, то и — монотонно убывающая функция.

Эти точки принадлежат графику функции следовательно, они лежат на прямой, соединяющей их, — графике данной функции. Проведя прямую через точки А и В, получаем график функции (рис.44) Обычно, если функция задана на множестве тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл, то при задании функции при помощи формулы не указывают область ее определения. В этих случаях область определения функции (т. е. множество X) называется естественной областью определения функции. Рассмотрим функцию определенную при Ясно, что число 0 является предельной точкой области определения этой функции.

Обращение непрерывной функции в нуль

Формула выражает закон соответствия между множествами X и Y. Если обозначить эту формулу буквой F, то символически можно записать Если каждому значению х соответствует одно и только одно значение у, то мы имеем дело с функцией, и тогда можно записать Множество построенных точек называется графиком функции. Табличный способ задания функции широко применяется в практике. Так, записаны таблицы квадратов, кубов натуральных чисел, таблицы значения тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т. Мы уже знаем, что соответствие можно задавать при помощи таблицы.

Классификация точек разрыва

• Всякую линейную функцию можно записать формулой В зависимости от коэффициента k она будет или убывающей, или возрастающей функцией.
• Следовательно, коэффициенты k и b определяют положение прямой, являющейся графиком линейной функции на координатной плоскости.
• Функции определены для любых х и принимают значения из отрезка -1; 1 (рис. 5.4).
• Обычно, если функция задана на множестве тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл, то при задании функции при помощи формулы не указывают область ее определения.
• Рассмотрим функцию определенную при Ясно, что число 0 является предельной точкой области определения этой функции.
• Но точки симметричны относительно прямой (докажите это самостоятельно).

Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год). Функцией называется переменная величина, где аргумент есть независимая переменная, так как её мы выбираем сами, а зависимость является функциональной зависимостью. Если одна переменная величина находится в зависимости от другой переменной величины, причём каждому значению второй величины соответствует какое-то значение первой, это называется функцией. Две переменные обычно связаны каким-то соотношением.

Функция от функции, или сложная функция

• Она всегда будет иметь минимальное значение функции, ниже которой не опустится.
• Из рисунков видно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
• Функция f, заданная на симметричном относительно начала координат множестве X, для которой выполняется условие, что для любого справедливо равенство называется четной.
• Её область определения – это все рациональные числа, т.к.
• Если последний график сдвинем параллельно себе вправо на 2, то получим требуемый (рис. 5.17, в).
• Из того, что следует, что она принимает каждое свое значение два раза.

Ниже будем пользоваться утверждением о том, что каждая элементарная функция непрерывна во всех точках ее области определения. Пусть Если то принимаем по определению называется бесконечно большой (функцией) в окрестности точки а. Результат взят в круглые скобки, потому что это не число, а символически обозначенное арифметически невыполнимое действие, которое и называется неопределенностью. Что должно быть вместо, увидим ниже. 2) — сдвиг гиперболы на 1 вправо вдоль Ох (рис. 5.13,б).

Показательная функция

Если даны два множества X и У и дан закон соответствия между элементами этих множеств то множество X называется областью определения функции. Множество элементов из множества Y, которые соответствуют элементам образуют подмножество множества Y. Обозначим его через Множество называется множеством значений функции. Из определения функции следует, что не всякое соответствие между двумя множествами является функцией. 21 приведено несколько соответствий между элементами множеств Из них только соответствия являются функциями. Пусть функция определена на отрезке и непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Вычисление пределов функций

Область существования которых Составим следующую таблицу значений х и у, вычисляя Является совокупность всех действительных значений х, т. Например, областью существования функции Величины х1 и х2, х3 называются частными значениями аргумента, а у1, у2, у3—частными значениями функции.

Что такое функция

Пусть дана функция Покажем, что эта функция является монотонной. Возьмем два произвольных положительных значения аргумента входящих в область определения функции. Рассмотрим теперь функции (рис. 43). У них коэффициент k один и тот же, а коэффициент b имеет разные значения. Сравнивая эти графики, мы видим, что при изменении коэффициента b график функции перемещается параллельно самому себе. При так как точка принадлежит графику функции то отсюда следует, что коэффициент b численно равен отрезку, отсекаемому графиком функции на оси Оу.

Приращение переменной может быть как положительным, так и отрицательным числом. Если, например, значение х изменяется от 5 до 5,2 то Рассматривая каждую пару найденных значений х и у как координаты точек плоскости, построим эти точки и, соединив их плавной линией, получим кривую, называемую кубической параболой (рис. 71). Для функции область существования состоит из действительных значений х, абсолютная величина которых не меньше единицы, т. Как указывалось , переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует вполне определенное значение у.

Отрицательные числа не входят в область существования, так как квадратный корень из отрицательного числа является числом комплексным, а комплексными числами мы не занимаемся. Если на горизонтальной оси координат будем откладывать время t , а на другой оси величину тока i, то график этой функциональной зависимости будет выглядеть так, как указано на рис. На этом рисунке t1 обозначает момент включения тока, а t2—момент выключения.